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研究生： 陳冠瑜
CHEN-KUAN YU
論文名稱： 二維應變有限元素法的推導、驗證及比較
The Derivation, Verification and Comparison of Strain Finite Element Method for Two Dimensional Problems
指導教授： 潘誠平
CHENG-PING, PAN
口試委員: 潘誠平
CHENG-PING, PAN
郭世榮
SHIH-JUNG, KUO
蔡幸致
HSING-CHIH, TSAI
學位類別： 碩士
Master
系所名稱： 工程學院 - 營建工程系
Department of Civil and Construction Engineering
論文出版年： 2022
畢業學年度： 110
語文別： 中文
論文頁數： 145
中文關鍵詞： 力平衡 、位移諧和 、應變有限元素法
外文關鍵詞： force equilibrium, deformation compatibility, strain finite element method
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    • 本篇論文屬於應變有限元素法的一種，以節點應變為起始之基本未知數，並在計算過程中將未知數更改為節點位移。首先假設二維線性應變場，並結合力平衡及節點位移諧和條件，推導出與二維線性應變場相依之剪應變場及二維位移場，接著利用最小總勢能定理求解出各節點之位移並反求各元素之位移函數、應變函數及應力函數。
    本篇論文首先對基於應變且在四頂點及內部各有一節點的四邊形元素（Q4SBE5元素）進行更完整的理論推導，並以其為基礎，更進一步地提出在頂點取三點及內部隨機取兩點的三角形元素（RINT元素）、所有元素共同邊界之中點皆設有節點的三角形元素（BMNT元素），並自行撰寫程式分別以這三種元素模擬同樣的二維平面懸臂梁問題，除了對Q4SBE5元素進行驗證，也交叉比對這三種元素的計算精度、收斂速度、位移場諧和性等特點。研究發現若採用Q4SBE5矩形元素模擬懸臂梁問題時則位移收斂速度相當快且精準，位移場在元素邊界上也相當連續，採用RINT元素時，位移場在元素邊界上相當不連續，計算精度也非常不理想，而採用BMNT元素時，在y方向不可進行過多的細分，才可以得到合理的位移計算結果，且元素間之位移場才可以達到諧和。

    This research is a strain finite element method which assume the two dimensional linear strain field first and derive the shear strain field and the displacement field based on force equilibrium and deformation compatibility, then solve the node displacement by minimum potential energy theory.
    This research first derives the algorithms of Q4SBE5 element (Strain Based Quadrilateral Element with Four Corner Nodes and an Internal Node) more completely and develop the RINT element (Random Internal Nodes Triangle Element), BMNT element (Boundary Midpoint Nodes Triangle) based on its derivation. Then create code based on these algorithms and test the performance of these elements by the same two dimensional cantilever beam problem. The result of the Q4SBE5 element is excellent and the displacement field is very smooth while using only a small amount of elements. The result of the RINT element is terrible with discontinuous gap on the boundary of the elements. Last, the result of the BMNT element is excellent and the displacement field is very smooth only if the depth of the beam is not subdivided.

    摘要 I ABSTRACT II 誌謝 III 圖目錄 VII 表目錄 XI 第一章 緒論 1 1.1 研究背景 1 1.2 研究目的 1 1.3 研究方法 2 第二章 文獻回顧 3 2.1 傳統有限元素法 3 2.1.1 CST元素 3 2.1.2 LST元素 7 2.2 應變有限元素法 11 2.3 Q4SBE5元素 11 第三章 Q4SBE5元素之推導及驗證 13 3.1 元素簡介 13 3.2 理論推導及計算 14 3.2.1 理論推導 14 3.2.2 元素勁度矩陣之計算 22 3.3 以Q4SBE5元素模擬懸臂梁問題 26 3.3.1 懸臂梁問題簡介 26 3.3.2 基本參數輸入 27 3.3.3 程式運算 29 3.3.4 運算結果輸出及資料視覺化 42 3.3.5 Q4SBE5元素收斂性分析 47 3.3.6 不同的元素形狀對Q4SBE5元素之影響 57 第四章 RINT元素 60 4.1 元素簡介 60 4.2 理論推導及計算 61 4.2.1 理論推導 61 4.2.2 元素勁度矩陣之計算 61 4.3 以RINT元素模擬懸臂梁問題 63 4.3.1 懸臂梁問題簡介 63 4.3.2 基本參數輸入 63 4.3.3 運算結果輸出及資料視覺化 66 第五章 BMNT元素 68 5.1 元素簡介 68 5.2 理論推導及計算 70 5.2.1 理論推導 70 5.2.2 元素勁度矩陣之計算 71 5.3 以BMNT元素模擬懸臂梁問題 72 5.3.1 懸臂梁問題簡介 72 5.3.2 基本參數輸入 72 5.3.3 程式運算 74 5.3.4 運算結果輸出及資料視覺化 114 5.3.5 BMNT元素收斂性分析 118 5.3.6 將剪應變函數的常數項分割對BMNT元素之影響 129 第六章 結論與建議 131 6.1 結論 131 6.2 建議 132 參考文獻 133

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    所碩士論文，潘誠平指導，台北，2018。
    【5】 楊孟軒，「一維及二維應變有限元素法之推導」，國立台灣科技大學營建工程研究所碩士論文，潘誠平指導，台北，2020。
    【6】 張昱賢，「二維應變有限元素法理論推導與程式實踐」，國立台灣科技大學營建工程研究所碩士論文，潘誠平指導，台北，2020。
    【7】 王立翔，「二維應變有限元素法之分析與比較」，國立台灣科技大學營建工程研究所碩士論文，潘誠平指導，台北，2021。
    【8】 陳建琦，「二維六點應變有限元素法之推導」，國立台灣科技大學營建工程研究所碩士論文，潘誠平指導，台北，2021。
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    【10】 Bo-nan Jiang and Jie Wu., “The least-squares finite element method in elasticity-Part I: Plane stress or strain with drilling degrees of freedom”, Oakland University, Rochester, 2002.
    【11】 Bo-nan Jiang., “The least-squares finite element method in elasticity. Part II: Bending of thin plates”, Oakland University, Rochester, 2002.

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